Clonk Liga Wertungssystem

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Allgemeine Wertung

Jeder Spieler besitzt eine Wertung, die seine Spielstärke relativ zum gesamten Feld angibt.

Dabei entspricht die Wertungsdifferenz zwischen zwei Spielern einer bestimmten Gewinnwahrscheinlichkeit (Erwartung) in einem Einzelspiel gegeneinander. Diese Wahrscheinlichkeit ist so definiert, dass 400 Punkte Wertungsdifferenz einer geschätzten Gewinnwahrscheinlichkeit von 90% für den Spieler mit der höheren Wertung bedeuten.

Des weiteren wird angenommen, dass sich die Gewinnwahrscheinlichkeiten unter den Spielern näherungsweise multiplikativ verhalten, d.h. wenn Spieler A die Gewinnerwartung X gegen Spieler B hat und Spieler B eine Erwartung Y gegen Spieler C, so hat Spieler A eine Erwartung von X * Y gegen Spieler C. Das bedeutet nach obiger Definition, dass 800 Wertungspunkte Differenz einer Gewinnwahrscheinlichkeit von 99% entsprechen.

Daraus ergibt sich folgende Formel für die Gewinnerwartung abhängig von der Wertungsdifferenz:

$E(d) = \frac{1}{10^\frac{d}{400} + 1}$

Diese Funktion ist für $d = 0$ 0,5 - für eine Wertungsdifferenz von 0 ergeben sich also für beide Seiten eine Gewinnerwartung von 50%. Es gilt immer $E (d) + E ( - d) = 1$

Auf Basis dieser Erwartungsfunktion kann nun die Wertung selbst berechnet werden. Dazu wird nach jedem Spiel (Einzelspiel angenommen) die Differenz zwischen wirklichem Ergebnis (0 oder 1) und Erwartung gebildet. Der sich ergebende Wert wird mit einer (frei wählbaren) Konstante multipliziert und danach auf der jeweilige Wertung der Spieler aufaddiert:

${W\!n}_1 = W_1 + C \cdot \left(E_r - E(W_1 - W_2)\right)$
${W\!n}_1 = W_2 + C \cdot \left(\left(1 - E_r\right) - E(W_2 - W_1)\right)$
$\qquad = W_2 + C \cdot -\left( E_r - E(W_1 - W_2)\right)$

$W 1$: : Wertung Spieler 1
$W 2$: : Wertung Spieler 2
${W\!n}_1$: : Neue Wertung Spieler 1
${W\!n}_2$: : Neue Wertung Spieler 2
$C$: : Konstante
$E r$: : Ergebnis (aus Sicht von Spieler 1)

Man sieht hier auch, dass Spieler 1 immer genau so viele Punkte abgezogen bzw. gutgeschrieben bekommt, wie Spieler 2 gewinnt bzw. verliert. Die Summe über alle Spielerwertungen bleibt also stets konstant.

Mehrspielerwertung

Die bisherigen Betrachtungen beschränkten sich auf den Fall, dass zwei Spieler ein Einzelspiel gegeneinander austragen. Das ist aber in der Regel nicht der Fall - meist gibt es zwei Teams mit jeweils mehreren Spielern, die gegeneinander antreten.

In diesem Fall ist das erste Problem, die neue Gewinnerwartung zu berechnen. Dabei soll die obige Formel weiter verwendet werden, allerdings soll jetzt nicht mehr die Differenz der Spielerwertungen betrachtet werden, sondern die Differenz zwischen (geschätzten) Teamwertungen.

Diese Wertung soll dabei im korrekten Verhältnis zur Einzelspielerwertung stehen, damit die Wertung auf für ungleich große Teams anwendbar ist (Extremfall: Einzelspieler vs. Team). Dazu wird angenommen, dass jeder Spieler dem Team eine bestimmten Spielstärkebetrag "hinzufügt". Dabei wird dieser Spielstärkeübertrag bei größeren Teams schlechter sein als bei kleinen.

Daraus ergibt sich folgende Formel:

$W_T = F(n) \cdot (W_1 + W_2 + W_3 + \dots + W_n)$

$W T$: : (hypothetische) Wertung des Teams
$W i$: : Wertung Teammitglied i

Dabei steckt in F(n) die Güte des Zusammenspiels der Teammitglieder.

Nimmt man an, dass alle Teammitglieder die selbe Wertung haben, so kann man eine Formel für die Teamstärke gewinnen, indem man annimmt, dass jeder Spieler jeweils einen bestimmten Faktor weniger zur Gesamtspielstärke beiträgt als sein Vorgänger im Team.

Es ergibt sich dann:

$W_T = W_1 + c \cdot W_2 + c^2 \cdot W_3 + c^3 \cdot W_4 + ... + c^\left(n-1\right) \cdot W_n$

Das entspricht:

$W_T = \frac{c^n - 1}{(c - 1) \cdot n} \cdot (W_1 + W_2 + W_3 + W_4 + \dots + W_n)$

also:

$F(n) = \frac{c^n - 1}{(c-1) \cdot n}$

Dieser Zusammenhang wird nun allgemein auf beliebige Teams übertragen.

Die sich ergebende Teamwertung kann nun verwendet werden, um nach obigem Schema die Gewinnerwartung jedes Teams zu bestimmen. Jetzt müssen allerdings noch die Punktgewinne bzw. -verluste für die einzelnen Teammitglieder festgelegt werden.

Da das Spiel nicht bewerten kann, welcher Spieler wie stark zum Gewinn des Spieles beigetragen hat, wird der Punktegewinn für jedes Mitglied eines Teams gleich groß gesetzt.

Dabei müssen aber speziell auch die Wertung der Spiele bei verschieden großen Teams betrachtet werden. Hier sollte die bei den Einzelspielen vorhandene Wertungs- erhaltung (verlorene Punkte Verlierer = gewonnene Punkte Gewinner) ebenfalls gelten. Außerdem soll berücksichtigt werden, dass bei größeren Teams der Einzelspieler einen kleineren Beitrag zum Gewinn hat als in einem Einzelspiel. Deshalb sollte bei ungleichen Teams im kleineren Team mehr Punkte verloren/gewonnen werden als im größeren Team. Dabei sollen die Wertungsveränderungen der Teammitglieder bei gleich großen Teams wieder genau diejenige sein, die sich nach der Einzelspielerformel aus Ergebnis und den Teamwertungen ergibt.

Löst man die Gleichungen entsprechend der Bedingungen im vorigen Abschnitt, so gewinnt man folgende Formel:

$W_n = W + \sqrt{\frac{n_2}{n_1}} \cdot C \cdot (Er - E(d))$

$W n$: : neue Wertung
$W$: : alte Wertung
$n 2$: : Mitglieder gegnerisches Team
$n 1$: : Mitglieder eigenes Team
$C$: : Konstante
$E r$: : Ergebnis
$E (d)$: : Erwartung, basierend auf berechneten Teamwertungen

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